Question

7．已知命题p：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a-1）^x为减函数．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．
（3）若“p∧q”为真命题．求实数a的取值范围．
（4）若“p∨q”与“?p∨?q”都为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义求解即可．
（2）利用指数函数的性质写出结果即可．
（3）两个命题都是真命题，求解交集即可．
（4）两个命题一真一假，求解即可．

解答 解：（1）∵|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，p真  2≥3a，$a≤\frac{2}{3}$…（3分）
（2）q真，命题q：y=（2a-1）^x为减函数，0＜2a-1＜1，∴$\frac{1}{2}＜a＜1$…（6分）
（3）p真，$a≤\frac{2}{3}$，q真，$\frac{1}{2}＜a＜1$，“p∧q”为真命题．可得$\frac{1}{2}＜a≤\frac{2}{3}$…（9分）
（4）p∨q与?p∨?q都为真，p，q一真一假  $a≤\frac{1}{2}$或$\frac{2}{3}＜a＜1$…（12分）

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，考查计算能力．