Question

函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为

1

2

，则a=（　　）

• A、

  2

  或

  1

  4

• B、2或

  1

  2

• C、4
• D、4或

  1

  4

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：利用对数函数的单调性以及分类讨论即可得到结论．

解答： 解：①若a＞1，则函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上单调递增，
则满足f（2a）-f（a）=

1

2

，
即log_a2a-log_aa=

1

2

，
则log_a2=

1

2

，解得a

1

2

=2，即

a

=2，
解得a=4．
②若0＜a＜1，则函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上单调递减，
则满足f（a）-f（2a）=

1

2

，
即log_aa-log_a2a=

1

2

，
则log_a2=-

1

2

，解得a-

1

2

=

1

a

=2，
解得a=

1

4

．
综上a=

1

4

或4，
故选：D

点评：本题主要考查对数函数单调性的应用，注意要对a进行分类讨论．