精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

阅读下面材料:

    根据两角和与差的正弦公式,有

------①

        ------②

由①+② 得------③

 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

;

 (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.

(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

 

【答案】

 (Ⅰ)证明见解析    (Ⅱ) 为直角三角形

【解析】本试题主要考查了三角函数公式的化简,和解三角形和类比推理的综合运用。

(1)利用两角和差的余弦公式,进行联立方程组,求解结论。

(2)利用二倍角公式展开,升幂将角,然后得到三边平方和的关系式,从而确定三角形的形状为直角三角形。

解法一:(Ⅰ)证明:因为,------①

          ,------②…………………1分

①-② 得.------③……………………2分

代入③得.………………………………5分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化为

       ,………………………………8分

       所以.…………………………………9分

的三个内角A,B,C所对的边分别为

由正弦定理可得.………………………………11分

根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.…………………………………12分

解法二:(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为

,……………………8分

因为A,B,C为的内角,所以

所以又因为,所以,

所以    从而.………………………9分

,所以,故.   所以为直角三角形.

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下面材料:
根据两角和与差的正弦公式,有
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
α+β=A,α-β=B 有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2

(2)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A+cox2C-cos2B=1,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断△ABC的形状.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下面材料:
根据两角和与差的正弦公式,有:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ…③
令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(Ⅰ)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2

(Ⅱ)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B=1-cos2C,试判断△ABC的形状.(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下面材料:根据两角和与差的正弦公式,有
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
令α+β=A,α-β=β 有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得 sinA+subB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2

(Ⅱ)求值:sin220°+cos250°+sin20°cos50°(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:阅读理解

(2012•福建模拟)阅读下面材料:
根据两角和与差的正弦公式,有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(Ⅰ)类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2

(Ⅱ)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B=2sin2C,试判断△ABC的形状.
(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年福建省高三5月月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题

阅读下面材料:

根据两角和与差的正弦公式,有

------①

------②

由①+② 得------③

 有

代入③得

(Ⅰ)类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

;

(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.

(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案