Question

三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（１）证明：平面PAB⊥平面PBC；

（２）若PA=，PC与侧面APB所成角的余弦值为，PB与底面ABC成60°角，求二面角B―PC―A的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）证明详见解析；（2）60°

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理证明平面PAB⊥平面PBC；（2）过A作则ÐEFA为所求.然后求出AB=,PB=2,PC=3及AE,AF，在RtAEF中求解即可.

试题解析： (1)证明：∵PA^面ABC,\PA^BC,    ∵AB^BC,且PA∩AB=A,\BC^面PAB

而BCÌ面PBC中,\面PAB^面PBC. ……5分

 (2)过A作

则ÐEFA为B−PC−A的二面角的平面角      8分

由PA=,在RtDPBC中,cosÐCPB=.

RtDPAB中,ÐPBA=60°.  \AB=,PB=2,PC=3   \AE=  =

同理：AF=          10分

∴sin==,         11分

∴=60°.           12分

另解：向量法：由题可知：AB=,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系        7分

B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,,0),P(0,,),假设平面BPC的法向量为=(x₁,y₁,z₁),

∴

取z₁=，可得平面BPC法向量为=(0,−3,)      9分

同理PCA的法向量为=(2,−,0)              11分

∴cos<,>==,所求的角为60°          12分

考点：1. 平面与平面垂直的判定；2.直线与平面所成的角和二面角．