Question

给出一个不等式（x∈R）．
经验证：当c=1，2，3时，对于x取一切实数，不等式都成立．
试问：当c取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成立？若能成立，请给出证明；若不成立，请求出c的取值范围，使不等式对任何实数x都能成立．

Answer 1

解：令f（x）=，设u=（u≥），则f（x）=（u≥）．
∴f（x）=．
要使不等式成立，即f（x）-≥0．
∵u≥＞0，∴只须u-1≥0，
∴u²c≥1，即 u²≥，∴x²+c≥，∴x²≥-c．
故当＞c 时，即 0＜c＜1原不等式不是对一切实数x都成立，即原不等式对一切实数x不都成立．
要使原不等式对一切实数x都成立，即使x²≥-c对一切实数都成立．
∵x²≥0，故应有 -c≤0．
再由c＞0 可得，当c≥1时，原不等式对一切实数x都能成立．
分析：令f（x）=，设u=（u≥），则f（x）=（u≥）．用分析法可得要使f（x）-≥0，只需要x²≥-c． 故当＞c 时，原不等式不是对一切实数x都成立，当 -c≤0时，原不等式对一切实数x都能成立．
点评：本题主要考查函数的恒成立问题，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．