Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x³+1；
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）（x∈[t，t+1]）的最小值g（t）．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的定义，可得f（x）=f（-x），结合x≥0时的函数解析式，可求出x＜0时，函数的解析式，进而可得y=f（x）的解析式；
（2）根据（1）中函数的解析式，结合幂函数的单调性，分别讨论t+1≤0，即t≤-1时；t＜0＜t+1，即-1＜t＜0时和t≥0时函数的F（x）的最小值，最后综合讨论结果可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）
x≥0时，f（x）=x³+1
∴x＜0时，f（x）=f（-x）=（-x）³+1=-x³+1
故f（x）=

x3+1，x≥0 -x3+1，x＜0

…（5分）
（2）由（1）中函数f（x）的解析式楞各
当t+1≤0，即t≤-1时
f（x）=-x³+1在区间[t，t+1]上为减函数
∴F（x）_min=f（t+1）=-（t+1）³+1…（7分）
当t＜0＜t+1，即-1＜t＜0时
f（x）=-x³+1在区间[t，0]上为减函数，区间[0，t+1]上为减函数
F（x）_min=f（0）=1…（9分）
当t≥0时，f（t）=t³+1在区间[t，t+1]上为增函数
F（x）_min=f（t）=t³+1        …（11分）
故：F（x）_min=g（t）=

-(t+1)3+1，t≤1 1，-1＜t＜0 t3+1，t≥0

…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，其中根据函数的奇偶性，求出函数的解析式是解答的关键．