Question

6．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，E的短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l与圆5x²+5y²-4=0相切，l与椭圆E相交于A、B两点，求证：以AB为直径的圆经过坐标原点O．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，证明x₁x₂+y₁y₂=0即可

解答 （Ⅰ）解：因为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）满足a²=b²+c²，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为$\sqrt{3}$，可得bc=$\sqrt{3}$．
从而可解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）证明：依题意可设过P的直线l方程为：x=my+b（m，b∈R），
∴直线l与圆5x²+5y²-4=0相切，
∴$\frac{|b|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，∴b²=$\frac{4}{5}$（m²+1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线x=my+b代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1得：（m²+4）y²+2mby+b²-4=0，
依题意可知△＞0恒成立，且y₁•y₂=$\frac{{b}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{4{b}^{2}-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{4{b}^{2}-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$+$\frac{{b}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$=0．
∴以AB为直径的圆经过坐标原点O．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．属于中档题．