【题目】已知在四棱锥C﹣ABDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,△ABC是边长为2的等边三角形,AE=1,M为AB的中点.
(1)求证:CM⊥EM;
(2)若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2,求二面角B﹣CD﹣E的大小.
【答案】
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,M为AB的中点,∴CM⊥AB.
又∵DB⊥平面ABC,
∴DB⊥CM,∴CM⊥平面ABDE,
∵EM平面ABDE,∴CM⊥EM
(2)解:如图,以点M为坐标原点,MC,MB所在直线分别为x,y轴,
过M且与直线BD平行的直线为z轴,建立空间直角坐标系.
∵DB⊥平面ABC,∴∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角.
由题意得tan ,即BD=2,故B(0,1,0),C(
),D(0,1,2),E(0,﹣1,1),
∴ =(
),
=(0,0,2),
=(﹣
),
=(﹣
),
设平面BCD与平面CDE的法向量分别为 =(x,y,z),
=(a,b,c),
则 ,令x=1,得
=(1,
,0).
同理求得 =(1,﹣
,
),
∴cos< >=
=0,∴二面角B﹣CD﹣E的大小为90°.
【解析】(1)推导出CM⊥AB,DB⊥CM,从而CM⊥平面ABDE,由此能证明CM⊥EM.(2)以点M为坐标原点,MC,MB所在直线分别为x,y轴,过M且与直线BD平行的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣CD﹣E的大小.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的性质和空间角的异面直线所成的角,掌握垂直于同一个平面的两条直线平行;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
即可以解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略,需要寻找一个宣讲站,让群众能在最短的时间内到宣讲站.设有三个乡镇,分别位于一个矩形的两个顶点
及
的中点
处,
,
,现要在该矩形的区域内(含边界),且与
等距离的一点
处设一个宣讲站,记
点到三个乡镇的距离之和为
.
(Ⅰ)设,将
表示为
的函数;
(Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定宣讲站的位置,使宣讲站
到三个乡镇的距离之和
最小.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆 :
,右顶点为
,离心率为
,直线
:
与椭圆
相交于不同的两点
,
,过
的中点
作垂直于
的直线
,设
与椭圆
相交于不同的两点
,
,且
的中点为
.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设原点 到直线
的距离为
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系xOy中,点P(0, ),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.直线l的参数方程为
为参数).
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C的两个交点分别为A,B,求 +
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知双曲线 ﹣
=1(a>0,b>0)的实轴端点分别为A1 , A2 , 记双曲线的其中的一个焦点为F,一个虚轴端点为B,若在线段BF上(不含端点)有且仅有两个不同的点Pi(i=1,2),使得∠A1PiA2=
,则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.( ,
)
B.( ,
)
C.(1, )
D.( ,+∞)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业准备投资 万元兴办一所中学,对当地教育市场进行调查后,得到了如下的数据表格(以班级为单位):
初中 | 26 | 4 |
高中 | 54 | 6 |
第一年因生源和环境等因素,全校总班级至少 个,至多
个,若每开设一个初、高中班,可分别获得年利润
万元、
万元,则第一年利润最大为
A. 万元 B.
万元 C.
万元 D.
万元
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