Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=qa_n+2q-2（q为常数，|q|＜1），若a₃，a₄，a₅，a₆∈{-26，-56，-2，34，79}，则a₁=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，得a_n+1+2=q（a_n+2），从而得到a_n+2与a_n+1+2的关系，分a_n=-2和a_n≠-2讨论，当a_n≠-2时构造等比数列{a_n+2}，公比为q．计算可得答案．

解答： 解：∵a_n+1=qa_n+2q-2
∴a_n+1+2=q（a_n+2），n=1，2，…，
①当a_n=-2时，显然有a₃=a₄=a₅=a₆=-2∈{-26，-56，-2，34，79}，
此时a₁=-2．
②当a_n≠-2时，{a_n+2}为等比数列，且公比q=

an+1+2

an+2

，（q为常数，|q|＜1），
又∵a₃，a₄，a₅，a₆∈{-26，-56，-2，34，79}，
∴a₃+2，a₄+2，a₅+2，a₆+2∈{-24，-54，0，36，81}，
∵a_n≠-2，所以a_n+2≠0，又|q|＜1，
从而a₃+2=81，a₄+2=-54，a₅+2=36，a₆+2=-24，
则公比q=

-54

81

=-

2

3

，
则a₃+2=（a₁+2）（-

2

3

）²，
即（a₁+2）×

4

9

=81，
解得a₁=

721

4

，
综上a₁=-2或a₁=

721

4

．
故答案为：-2或

721

4

点评：本题主要考查递推数列的应用，根据数列的特点利用构造法，结合等比数列的性质是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．