Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=t，a_n+1=2S_n+1（n∈N）．
（1）若t≠-

1

2

，求证：数列{S_n}不是等差数列；
（2）当t为何值时，数列{a_n}是等比数列，并求出该等比数列的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把a_n+1=S_n+1-S_n代入a_n+1=2S_n+1化简得：S_n+1=3S_n+1，利用待定系数法求出S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），对t进行分类讨论，分别利用等差、等比数列的定义进行判断即可；
（2）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），两式相减后化简并求出a₂，利用等比数列的定义求出t的值，再求公比和首项，代入等比数列的前n项和公式求出S_n．

解答： 证明：（1）由a_n+1=2S_n+1可得S_n+1-S_n=2S_n+1，则S_n+1=3S_n+1，
设S_n+1+k=3（S_n+k），则S_n+1=3S_n+2k，即2k=1，解得k=

1

2

，
所以S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），
则当a₁=t=-

1

2

时，S₁+

1

2

=0，所以S_n+1=-

1

2

，即S_n=-

1

2

，
此时数列{S_n}是以-

1

2

为首项、以0为公差的等差数列，
若a₁=t≠-

1

2

，S₁+

1

2

≠0，且满足S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），
所以数列{S_n+

1

2

}是以t+

1

2

为首项、以3为公比的等比数列，
此时数列{S_n}不是等差数列；
解：（2）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，所以a₂=2a₁+1=2t+1，
若数列{a_n}是等比数列，
则有

a2

a1

=3，即

2t+1

t

=3，解得t=1，
则当t=1时，数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以S_n=

1-3n

1-3

=

1

2

(3n-1)．

点评：本题考查等差、等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，待定系数法的应用，以及数列a_n与S_n之间的关系式的灵活应用，考查分类讨论思想，转化与变形能力．