Question

设是函数的一个极值点。

（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（2）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）；

①当时，单增区间为：；单减区间为：、；

②当时，单增区间为：；单减区间为：、；

（2）的取值范围为。

【解析】

试题分析：（1）∵ ∴

      2分

由题意得：，即，    3分

∴且

令得，

∵是函数的一个极值点

∴，即

故与的关系式  5分

①当时，，由得单增区间为：；

由得单减区间为：、；

②当时，，由得单增区间为：；

由得单减区间为：、；    8分

（2）由（1）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，，

∴在上的值域为   10分

易知在上是增函数

∴在上的值域为  12分

由于，

又∵要存在，使得成立，

∴必须且只须解得： 

所以：的取值范围为    14分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，确定参数的范围。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。