Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（II）若a=2，b=1，若函数k=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围；
（III）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于M、N两点，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）对函数求导，根据函数的单调性得到函数的导函数在定义域上不小于0，恒成立，根据基本不等式求出b的范围．
（II）把函数在规定的区间上有零点，相当于函数对应的方程在这个区间上有解，构造新函数，根据对函数求导得到函数最值，求出结果．
（III）设出点的坐标，写出直线的方程，根据直线平行，得到斜率之间的关系，构造新函数，对新函数求导，得到两个结论是矛盾的．

解答：解：（I）h（x）=lnx+x²-bx，且函数的定义域为（0，+∞）
∴依题知h′(x)=

1

x

+2x-b≥0对（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2x
∵x＞0，
∴b≤2

2

（II）函数k（x）=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程
x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根．
令m（x）=x-2lnx，
∴m′(x)=1-

2

x

∴m（x）在[1，2]上单减，在（2，3]上单增，
m（x）的最小值是2-2ln2
故2-2lnx＜k＜3-2ln3
（III）设点P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
则PQ的中点R的横坐标

x1+x2

2

C₁在点M处的切线的斜率为k1=

2

x1+x2

C₂在点N处的切线的斜率为k2=

x1+x2

2

+b
假设C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则斜率相等
即ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

设u=

x2

x1

＞1
则lnu=

2(u-1)

1+u

①
令r（u）=lnu-

2(u-1)

1+u

  （u＞1）
则r′(u)=

(u-1)2

u(1+u)2

∵u＞1，r′（u）＞0
∴r（u）单调递增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞

2(u-1)

u+1

②
∵①与②矛盾，
∴假设不成立，故C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

点评：本题考查函数的导函数的应用，本题是一个压轴题目，这个题目可以出现在高考卷的最后两个题目的位是一个比较困难的题目．