Question

14．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x²+y²=1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S_P的定义如下：若P与O重合，S_P=r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S_P=AP的长度（如图）．
①点$（\frac{1}{3}，0）$到⊙O的距离为$\frac{2}{3}$；
②直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 ①O（0，0）与P（$\frac{1}{3}$，0），由此能求出点$（\frac{1}{3}，0）$到⊙O的距离S_P．
②由圆心O（0，0）到直线2x+2y+1=0的距离d=$\frac{|1|}{\sqrt{4+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜1=r，得到直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离（S_P）_max=1-d，由此能求出结果．

解答 解：①∵O（0，0），∴P（$\frac{1}{3}$，0）与O不重合，
∴点$（\frac{1}{3}，0）$到⊙O的距离S_P=|AP|=1-$\sqrt{（\frac{1}{3}-0）^{2}+（0-0）^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
②∵圆心O（0，0）到直线2x+2y+1=0的距离d=$\frac{|1|}{\sqrt{4+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜1=r，
∴直线2x+2y+1=0与⊙O：x²+y²=1相交，
∴直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离：
（S_P）_max=1-d=1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$；1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题点到圆的“距离”的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意新定义和两点间距离公式的灵活运用．