Question

在数列{a_n}中，已知 a_n+1=a_n-4且 3a₄=7a₇，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n有最大值还是最小值？求出这个最值．

Answer 1

分析：根据a_n+1=a_n-4可得出数列{a_n}为等差数列且公差为-4再根据 3a₄=7a₇即可求出a₁从而求出通项a_n=-4n+37可令a_n≥0求出n的范围再结合等差数列的函数特性就可判断出等差数列{a_n}中项的正负的分布情况进而可求出S_n有最大值还是有最小值然后根据等差数列的前n项和公式即可求出这个最值．

解答：解：∵a_n+1=a_n-4
∴a_n+1-a_n=-4
∴数列{a_n}为公差为-4数列的等差数列
∵3a₄=7a₇
∴a₁=33
∴a_n=-4n+37
令a_n≥0
∴n≤

37

4

∴等差数列{a_n}的前9项均为正从第10项开始均为负
∴数列{a_n}的前n项和Sn有最大值
∴（s_n）mnx=s9=9×33-

1

2

×9×8×（-4）=153
即数列{a_n}的前n项和Sn有最大值且最大值为153

点评：本题主要考查了利用等差数列的性质求前n项和的最大最小值．解题的关键是要根据等差数列的函数特性（要么递增要么递减要么是常数列）再结合a_n≥0求出的n的范围即可对此数列项的正负情况作出判断后问题就迎刃而解了！