Question

【题目】已知f（x）= ，（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域．
（2）证明f（x）为奇函数．
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= ，（a＞0，且a≠1）的定义域为：{x| }，

解得f（x）= ，（a＞0，且a≠1）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}

（2）解：∵f（x）= ，（a＞0，且a≠1），

∴f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），

∴f（x）为奇函数

（3）解：∵f（x）= ，（a＞0，且a≠1），

∴由f（x）＞0，得 ，

当0＜a＜1时，有0＜ ＜1，解得﹣1＜x＜0；

当a＞1时，有 ＞1，解得0＜x＜1；

∴当a＞1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（0，1），

当0＜a＜1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣1，0）

【解析】（1）f（x）= ，（a＞0，且a≠1）的定义域为：{x| }，由此能求出结果．（2）由f（x）= ，（a＞0，且a≠1），知f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），由此能证明f（x）为奇函数．（3）由f（x）＞0，得 ，对a分类讨论可得关于x的方程，由此能求出使f（x）＞0成立的x的取值范围．
【考点精析】利用函数单调性的性质和函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．