Question

12．已知函数f（x）=x-a．g（x）=alnx，h（x）=f（x）-g（x），其中a是常数．
（1）若f（x）对应的直线是函数g（x）图象的一条切线，求a的值；
（2）当a≤0时．若对任意不相等的x₁，x₂∈（0，1]，都有|h（x₁）-h（x₂）|＜2015|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，求a的取值范围；
（3）若对任意的x₁＞x₂＞0，都有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导g′（x）=$\frac{a}{x}$，从而由导数的几何意义可得$\frac{a}{m}$=1，代入可得alna=a-a；从而解得；
（2）当a≤0时，h（x）=x-alnx-a在（0，1]上是增函数，不妨设0＜x₁＜x₂≤1，从而化不等式为h（x₂）+$\frac{2015}{{x}_{2}}$＜h（x₁）+$\frac{2015}{{x}_{1}}$；从而转化为解h（x）+$\frac{2015}{x}$在（0，1]上是减函数；从而求导解得．
（3）化简可得a$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}$，从而可得a＞$\frac{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}{1+（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）^{2}}$•$\frac{1}{ln（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）}$，（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1）；即a＞$\frac{x-1}{1+{x}^{2}}$•$\frac{1}{lnx}$，（x＞1），由$\underset{lim}{x→1}$（$\frac{x-1}{1+{x}^{2}}$•$\frac{1}{lnx}$）=$\frac{1}{2}$，从而解得．

解答 解：（1）∵g（x）=alnx，∴g′（x）=$\frac{a}{x}$，
设f（x）对应的直线与函数g（x）的图象相切于点（m，alnm）；
则$\frac{a}{m}$=1，
故a=m；
故点（a，alna）在函数f（x）=x-a的图象上，
即alna=a-a；
故a=1；
（2）当a≤0时，h（x）=f（x）-g（x）=x-alnx-a在（0，1]上是增函数，
不妨设0＜x₁＜x₂≤1，
∵|h（x₁）-h（x₂）|＜2015|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，
∴h（x₂）-h（x₁）＜2015（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$），
即h（x₂）+$\frac{2015}{{x}_{2}}$＜h（x₁）+$\frac{2015}{{x}_{1}}$；
即h（x）+$\frac{2015}{x}$在（0，1]上是减函数；
令m（x）=h（x）+$\frac{2015}{x}$=x+$\frac{2015}{x}$-alnx-a，
则m′（x）=1-$\frac{2015}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-$\frac{2015}{x}$在（0，1]上恒成立，
易知x-$\frac{2015}{x}$在（0，1]上是增函数，
故a≥1-2015=-2014；
故-2014≤a≤0；
（3）∵$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}$，
∴a$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}$，
∵$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
∴a＞$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}$，
即a＞$\frac{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}{1+（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）^{2}}$•$\frac{1}{ln（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）}$，（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1）；
a＞$\frac{x-1}{1+{x}^{2}}$•$\frac{1}{lnx}$，（x＞1），
∵当x₂→x₁时，x→1，
$\underset{lim}{x→1}$（$\frac{x-1}{1+{x}^{2}}$•$\frac{1}{lnx}$）=$\frac{1}{2}$，
故a＞$\frac{1}{2}$；
故a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了洛必达法则的应用．