Question

已知函数上为增函数，函数g（x）=lnx-ax，（x＞0，x∈R）在（1，+∞）上为减函数．
（1）求实数a的值；
（2）求证：对于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．

Answer 1

解：（1）在（1，+∞）上恒成立，
则a≤x²在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤1．…（3分）
又在（1，+∞）上恒成立，
则在（1，+∞）上恒成立．
∴a≥1．…（5分）
从而为a=1…（7分）
（2）依题意可知，证明对于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），
总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．
只须证：函数y=-f（x）的值域是函数y=g（x）值域的子集．
设y=-f（x）的值域为M，y=g（x）的值域为N；
由（1）可知y=-f（x）=在[1，m]上为减函数，
g（x）=lnx-x在[1，m]上为减函数
∴…（10分）
设
则∵x＞1，
∴，
∴y=?（x）在（1，+∞）上为增函数
∵m＞1，
∴?（m）＞?（1）=0
∴
∴…（14分）
∴M⊆N，即对于任意的x₁[1，m]（m＞1）
总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0…（15分）
分析：（1）由在（1，+∞）上恒成立，知a≤x²在（1，+∞）上恒成立，故a≤1．由在（1，+∞）上恒成立，知在（1，+∞）上恒成立．故a≥1．由此能求出a．
（2）依题意可知，只须证：函数y=-f（x）的值域是函数y=g（x）值域的子集．设y=-f（x）的值域为M，y=g（x）的值域为N；由y=-f（x）=在[1，m]上为减函数，g（x）=lnx-x在[1，m]上为减函数，知．由此能够证明总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．
点评：本题考查实数a的值的求法和证明：对于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．考查分析解决问题的能力，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．