Question

函数f（x）=

x x∈P -x x∈M

其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．给出下列四个判断，其中正确判断有（　　）
①若P∩M=∅，则f（P）∩f（M）=∅；
②若P∩M≠∅，则f（P）∩f（M）≠∅；
③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：由函数的表达式知，可借助两个函数y=x与y=-x图象来研究，分析可得答案．

解答：解：由题意知函数f（P）、f（M）的图象如图所示．
设P=[x₂，+∞），M=（-∞，x₁]，
∵|x₂|＜|x₁|，f（P）=[f（x₂），+∞），
f（M）=[f（x₁），+∞），则P∩M=∅．
而f（P）∩f（M）=[f（x₁），+∞）≠∅，故①错误．
同理可知②正确．
设P=[x₁，+∞），M=（-∞，x₂]，
∵|x₂|＜|x₁|，则P∪M=R．
f（P）=[f（x₁），+∞），f（M）=[f（x₂），+∞），
f（P）∪f（M）=[f（x₁），+∞）≠R，
故③错误．
④由③的判断知，当P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R是正确的．
故④对
故选B

点评：考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉络，故研究时借用两个函数的图象，借助图形的直观来来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题常用的一种思路．