Question

已知双曲线的两条渐近线经过坐标原点，且与以A（

2

，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A'与点A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线的方程；
（2）是否存在过A点的一条直线交双曲线于M、N两点，且线段MN被直线x=-1平分．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先确定双曲线顶点的坐标，再利用双曲线的渐近线经过坐标原点，且与以A（

2

，0）为圆心，1为半径的圆相切，求得渐近线方程，从而求出双曲线的方程；
（2）先假设存在，与双曲线方程联立，利用线段MN被直线x=-1平分，求参数的值，再进行验证即可．

解答：解：（1）由题意得，∵双曲线的一个顶点A'与点A关于直线y=x对称
∴顶点A'（0，

2

）
设双曲线的一条渐近线方程为y=kx
∵双曲线的渐近线经过坐标原点，且与以A（

2

，0）为圆心，1为半径的圆相切
∴k=1
∴双曲线的方程为

y2

2

-

x2

2

=1
（2）设过A点的一条直线方程为y=m(x-

2

)，
代入双曲线方程并化简得(m2-1)x2-2

2

m2x+2m2-2=0
由题意，

2 2 m2

m2-1

=-1，即m=±

2 2 -1 7

经验证，满足题意
∴直线方程为y=±

2 2 -1 7

(x-

2

)

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查双曲线标准方程的求解，考查直线与双曲线的位置关系，关键是合理运用双曲线的几何性质，对于是否存在性问题，通常转化为封闭型问题求解．