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已知函数数学公式,其中x∈R,θ为参数,且0≤θ≤2π.
(Ⅰ)当cosθ=0时,判断函数f(x)是否有极值;
(Ⅱ)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数θ的取值范围;
(Ⅲ)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围.

解:(Ⅰ)(1)当cosθ=0时,f(x)=4x3,则f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,故无极值.
(II)f'(x)=12x2-6xcosθ,令f′(x)=0,得x1=0,.由(1)知,只需分下面两种情况讨论.
(1)当cosθ>0时,随x的变化f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:

∴f(x)在x=处取得极小值,且f()=>0


(2)cos θ<0时,随x的变化f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:

∵f(x)在x=0处取得极小值f(0),且f(0)=
若f(0)>0则cosθ>0与已知cosθ<0矛盾
∴当cosθ<0时,f(x)的极大值不会大于0
综上可得,要使得函数f(x)在R上的极小值大于0,
(III)由(II)知,函数f(x)在区间(-∞,0)与 (cosθ,+∞)内都是增函数.
由题设,函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数,
则a须满足不等式组
由(II),时,0<cosθ<
要使不等式 2a-1≥ cosθ关于参数θ恒成立,必有 2a-1≥

综上可得,a≤0或
分析:(I)先求函数的导数,f′(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立,得到函数的单调性,从而可判定是否有极值.
(II)先求出极值点,f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值,求出极小值,使函数f(x)的极小值小于零建立不等关系,求出参数θ的取值范围即可.
(III)由②知,函数f(x)在区间(-∞,0)与 ( ,+∞)内都是增函数,只需(2a-1,a)是区间(-∞,0)与 ( ,+∞)的子集即可.
点评:本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.
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