Question

设{b_n}是等差数列，b₁+b₂+b₃=15，b₃+b₅+b₇=33，S_n是数列{b_n}前n项和，令对一切的正整数n恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．（-∞，6]
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由等差数列的性质可得 b₂ =5，b₅=11，由此求得首项和公差，从而求得通项b_n=2n+1，从而求得S_n和T_n的解析式，进而求得有最小值等于，
由此求得a的取值范围．
解答：解：由等差数列的性质可得b₁+b₂+b₃=15=3b₂，故 b₂ =5；同理可得 b₃+b₅+b₇=33=3b₅，故 b₅=11．
设等差数列{b_n}的公差等于d，则有 3d=b₅-b₂ =6，故d=2，故 b₁=3，∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1，故S_n=n×3+=n²+2n，
∴==（2n+1）++2．
函数y=x+在（2，+∞）上单调递增，由于2n+1≥3，故当2n+1=3 时，有最小值等于．
若T_n≥a对一切的正整数n恒成立，应有a≤．
故选B．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式，等比数列的通项公式，数列与不等式综合，属于中档题．