(2007
辽宁,21)已知数列、与函数f(x)、g(x),xR满足条件:,.(1)
若f(x)=tx+1(t≠0,t≠2),g(x)=2x,f(b)≠g(b),且存在,求t的取值范围,并求(用t表示);(2)
若函数y=f(x)为R上的增函数,,b=1,f(1)<1,证明对任意的,.
解析: (1)解法一:由题设知得.又已知t≠2,可得.由 f(b)≠g(b),t≠2,t≠0,可知,所以 是等比数列,其首项为,公比为 .于是,即 .又存在,可得所以- 2<t<2且t≠0..解法二:由题设知 ,且 t≠2,可得.由 f(b)≠g(b),t≠2,t≠0,可知,,所以是首项为,公比为的等比数列. ,即 .由 可知,若存在,则存在.于是可得 所以-2<t<2且t≠0. .解法三:由题设知 ,即 , ① , ②②-①得 ,令 ,得.由 f(b)≠g(b),t≠2,t≠0可得,,所以是首项为,公比为的等比数列.于是 , .又 存在,可得所以- 2<t<2且t≠0. .说明:数列 通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一,其他过程和结果参照以上评分标准.(2) 证明:因为,所以 ,即.下面用数学归纳法证明 .①当 n=1时,由f(x)为增函数,且 f(1)<1,得, ,,即 ,结论成立.②假设 n=k时结论成立,即.由 f(x)为增函数,得,即,进而得 ,即.这就是说当 n=k+1时,结论也成立.根据①和②可知,对任意的 ,. |
剖析:本题主要考查数列的定义、数列的递推公式、等比数列、函数、不等式等基础知识,考查运用数学归纳法解决问题的能力. |
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