Question

如图，两座建筑物AB，CD的高度分别为9m和15m，从建筑物AB的顶部看建筑物CD的张角∠CAD=45°．
（1）求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD；
（2）求∠ADB的正切值．

Answer 1

分析：（1）作AE⊥CD于E，问题转化为求△ACD边CD上的高．设AE=x，只要建立起关于x的方程，则问题可解．
（2）利用（1）直接求出∠ADB的正切值．

解答：解：（1）如图作AE⊥CD于E．
∵AB∥CD，AB=9，CD=15，∴DE=9，EC=6．
设AE=x，∠CAE=α，
∵∠CAD=45°，∴∠DAE=45°-α．
在Rt△AEC和Rt△AED中，
∵tanα=

6

x

，tan（45°-α）=

9

x

∴

9

x

=tan（45°-α）=

1-tanα

1+tanα

∴

9

x

=

1- 6 x

1+ 6 x

，化简整理得x²-15x-54=0，
解得x₁=18，x₂=-3（舍去）．
答：两建筑物底部间距离BD是18 m．
（2）由（1）可知BD=18，AB=9，所以tan∠ADB=

AB

BD

=

9

18

=

1

2

．
∠ADB的正切值为：

1

2

．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解这类题的关键是建立数学模型，设出恰当的角．考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．