Question

20．已知点F为椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左焦点，过点F的直线l₁ 与椭圆交于P、Q两点，过F且与l₁垂直，直线l₂交椭圆于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值．

Answer 1

分析 若PQ斜率不存在（或为0）时，S_{四边形PMQN}=2；若PQ斜率存在时，设为k，（k≠0），则MN的斜率为-$\frac{1}{k}$，直线PQ的方程为y=kx+k，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式得|PQ|=2$\sqrt{2}$•$\frac{{k}^{2}+1}{1+2{k}^{2}}$，同理，得|MN|=2$\sqrt{2}$•$\frac{{k}^{2}+1}{2+{k}^{2}}$，由此求出S_{四边形PMQN}∈[$\frac{16}{9}$，2]，从而得到四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为$\frac{16}{9}$．

解答 解：若PQ斜率不存在（或为0）时，
S_{四边形PMQN}=$\frac{|PQ|•|MN|}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}×2\sqrt{1-\frac{1}{2}}}{2}$=2，
若PQ斜率存在时，设为k，（k≠0），则MN的斜率为-$\frac{1}{K}$，
直线PQ的方程为y=kx+k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
则x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$•$\frac{{k}^{2}+1}{1+2{k}^{2}}$，
同理，得|MN|=2$\sqrt{2}$•$\frac{{k}^{2}+1}{2+{k}^{2}}$，
∴S_{四边形PMNQ}═$\frac{|PQ|•|MN|}{2}$=4•$\frac{（{k}^{2}+1）^{2}}{（2+{k}^{2}）（1+2{k}^{2}）}$
=4•$\frac{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{2{k}^{4}+5{k}^{2}+2}$=2（1-$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{4}+5{k}^{2}+2}$）=2（1-$\frac{1}{2{k}^{2}+\frac{2}{{k}^{2}}+5}$），
∵2k²+$\frac{2}{{k}^{2}}$+5≥2$\sqrt{2{k}^{2}•\frac{2}{{k}^{2}}}$+5=9，
当且仅当k²=1时取等号，
∴$\frac{1}{2{k}^{2}+\frac{2}{{k}^{2}}+5}$∈（0，$\frac{1}{9}$]，
∴S_{四边形PMQN}∈[$\frac{16}{9}$，2]．
综上所述，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为$\frac{16}{9}$．

点评 本题考查直线方程，考查四边形面积的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．