Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点A（4，0）且与抛物线交于P，Q两点．并设以弦PQ为直径的圆恒过原点．
（Ⅰ）求焦点坐标；
（Ⅱ）若+=，试求动点R的轨迹方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）设直线l方程为x=ky+4，代入y²=2px得y²-2kpy-8p=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有y₁+y₂=2kp，y₁y₂=-8p
而，
故0=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+4）（ky₂+4）-8p=k²y₁y₂+4k（y₁+y₂）+16-8p
即0=-8k² p+8k²p+16-8p，得p=2，焦点F（1，0）．
（Ⅱ）设R（x，y），由
得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₃）=（x-1，y）
所以x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y
而y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
可得y（y₁-y₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
又FR的中点坐标为，
当x₁≠x₂时，利用k_PQ=k_MA有
整理得，y²=4x-28．
当x₁=x₂时，R的坐标为（7，0），也满足y²=4x-28．
所以y²=4x-28即为动点R的轨迹方程．
分析：（Ⅰ）设出直线l的方程代入抛物线的方程消去x，设出P，Q的坐标，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，利用，求得0=x₁x₂+y₁y₂，求得p，则焦点坐标可得．
（Ⅱ）设出R，利用求得x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y，进而根据y₁²=4x₁，y₂²=4x₂和FR中点坐标，利用k_PQ=k_MA求得x和y的关系式，当x₁=x₂时，R的坐标为（7，0），也满足y²=4x-28，进而推断出y²=4x-28即为动点R的轨迹方程．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．