Question

点P在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上运动，Q、R分别在两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中，c²=4-3=1，故椭圆

x2

4

+

y2

3

=1两焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心，过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，连接PF₁，PF₂，并延长，分别交两圆于Q′，R′，则|PQ|+|PR|≤|PQ′|+|PR′|=|PF₁|+1+|PF₂|+1=e|AB|+2，由此能求出|PQ|+|PR|的最大值．

解答：解：∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中，c²=4-3=1，
∴椭圆

x2

4

+

y2

3

=1两焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心，
e=

c

a

=

1

2

，准线x=±

a2

c

=±4，
过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，
连接PF₁，PF₂，并延长，分别交两圆于Q′，R′，
则|PQ|+|PR|≤|PQ′|+|PR′|
=|PF₁|+1+|PF₂|+1
=e|PA|+e|PB|+2
=e|AB|+2
=

1

2

×8+2
=6．
故选D．

点评：本题考查椭圆和圆的简单性质，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．