Question

已知⊙C：x²+y²=r²（r＞0）和点P（a，b）．
（1）若点P在⊙C上，求过点P且与⊙C相切的直线方程；
（2）若点P在⊙C内，过P作直线l交⊙C于A、B两点，分别过A、B两点作⊙C的切线，当两条切线相交于点Q时，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）点在圆上，找出圆心坐标，求出圆心与此点连线的斜率，确定出切线的斜率，写出切线方程即可；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），因为AQ与圆C相切，所以AQ⊥CA，所以（x₁-x₀）（x₁-0）+
（y₁-y₀）（y₁-0）=0，因为x₁²+y₁²=r²，所以x₀x₁+y₀y₁=r²，同理x₀x₂+y₀y₂=r²．所以过点A，B的直线方程为xx₀+yy₀=r²．再由直线AB过点P（a，b），代入即可得到Q的轨迹方程．

解答： 解：（1）点P（a，b）在圆x²+y²-4x=0上，
将圆化为标准方程得：a²+b²=r²，
∴圆心（0，0），半径为：r，
∵（a，b）与（0，0）连线的斜率为

b

a

，
∴切线的斜率为-

a

b

，
则切线方程为y-b=-

a

b

（x-a），即ax+by-r²=0．
过点P且与⊙C相切的直线方程：ax+by-r²=0；
（2）圆C：x²+y²=r²的圆心C为（0，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
因为AQ与圆C相切，所以AQ⊥CA．  
所以（x₁-x₀）（x₁-0）+（y₁-y₀）（y₁-0）=0，
即x₁²-x₀x₁+y₁²-y₀y₁=0，
因为x₁²+y₁²=r²，
所以x₀x₁+y₀y₁=r²，
同理x₀x₂+y₀y₂=r²．
所以过点A，B的直线方程为xx₀+yy₀=r²．
因直线AB过点（a，b）．
所以代入得ax₀+by₀=r²，
所以点Q的轨迹方程为：ax+by=r²．

点评：本题考查考查了圆的标准方程，以及圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．