Question

2．己知命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示双曲线；q：不等式x²-（k+1）x+k+1＞0对一切x＞1的实数恒成立．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的k的范围，结合若“p∨q”为真，“p∧q”为假，通过讨论p，q的真假，判断即可．

解答 解：命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示双曲线，
∴（4-k）（k-1）＜0，解得：k＞4或k＜1；
命题q：不等式x²-（k+1）x+k+1＞0对一切x＞1的实数恒成立，
∴△=（k+1）²-4（k+1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k+1}{2}＜1}\\{f（1）=1＞0}\end{array}\right.$，
解得：-1＜k＜3或k＜1，
∴k＜3，
若“p∨q”为真，“p∧q”为假，
则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{k＞4或k＜1}\\{k≥3}\end{array}\right.$，解得：k＞4，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{1≤k≤4}\\{k＜3}\end{array}\right.$，解得：1≤k＜3，
综上，k＞4或1≤k＜3．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质以及双曲线问题，是一道基础题．