Question

（2013•静安区一模）已知向量

a

和

b

满足条件：

a

≠

b

且

a

•

b

≠0．若对于任意实数t，恒有|

a

-t

b

|≥|

a

-

b

|，则在

a

、

b

、

a

+

b

、

a

-

b

这四个向量中，一定具有垂直关系的两个向量是（　　）

• A．

  a

  与

  a

  -

  b

• B．

  b

  与

  a

  -

  b

• C．

  a

  与

  a

  +

  b

• D．

  b

  与

  a

  +

  b

Answer 1

分析：把已知不等式平方可得对于任意实数t，不等式（t+1）

b

2≥2

a

•

b

恒成立，故有

b

2=

a

•

b

=0，即

b

•（

a

-

b

）=0，可得

b

与

a

-

b

一定垂直，从而得出结论．

解答：解：把已知不等式平方可得 a²-2t

a

•

b

+t²•

b

2≥

a

2+

b

2-2

a

•

b

，
化简可得 （t²-1）

b

2≥2（t-1）

a

•

b

，即 （t+1）

b

2≥2

a

•

b

．
由题意可得，对于任意实数t，（t+1）

b

2≥2

a

•

b

恒成立，故有

b

2=

a

•

b

=0，
即

b

•（

a

-

b

）=0，
∴

b

 与

a

-

b

一定垂直，
故选B．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模，两个向量垂直的条件，属于中档题．