【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线l的参数方程为 (t为参数,0<φ<π),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当φ变化时,求|AB|的最小值.
【答案】
(1)解:直线l的参数方程为 消去参数可得:xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0;
即直线l的普通方程为xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0;
曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ.可得:ρ2cos2θ=8ρsinθ.
那么:x2=8y.
∴曲线C的直角坐标方程为x2=8y
(2)解:直线l的参数方程带入C的直角坐标方程,可得:t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0;
设A,B两点对应的参数为t1,t2,
则 , .
∴|AB|=|t1﹣t2|= = .
当φ= 时,|AB|取得最小值为8
【解析】(1)直接消去直线l的参数可得普通方程;根据ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2 , 进行代换即得曲线C的直角坐标方程.(2)将直线l的参数方程带入C的直角坐标方程;设出A,B两点的参数,利用韦达定理建立关系求解最值即可.
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【题目】已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球的面上,且PA⊥平面ABC,若球O的体积为 (球的体积公式为 R3 , 其中R为球的半径),AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则三棱锥P﹣ABC的体积为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;
(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.
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【题目】设正数x,y满足log x+log3y=m(m∈[﹣1,1]),若不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,则实数a的取值范围是( )
A.(1, ]
B.(1, ]
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)
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【题目】已知关于的不等式的解集为;
(1)若,求的取值范围;
(2)若存在两个不相等负实数、,使得,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,满足:“对于任意,都有,对于任意的,都有”,若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
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【题目】某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据 用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频率分布表
满意度评分分组 | [50,60) | [50,60) | [50,60) | [50,60) | [50,60) |
频数 | 2 | 8 | 14 | 10 | 6 |
(1)(I)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分 散 程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:
满意度评分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
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