Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA-tanC-

3

tanAtanC=

3

，且

2

a=

2

c+b，
（1）求A-C大小；
（2）求∠C的大小．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）在△ABC中，将tanA-tanC-

3

tanAtanC=

3

变形，可求得tan（A-C）=

tanA-tanC

1+tanAtanC

=

3

，于是可求得A-C；
（2）由（1）知，A=C+

π

3

，利用正弦定理可得

2

[sin（C+

π

3

）-sinC]=sin（2C+

π

3

），再利用和差化积公式及二倍角的正弦，结合正弦函数与余弦函数的性质即可求得∠C的大小．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵tanA-tanC-

3

tanAtanC=

3

，
∴tan（A-C）=

tanA-tanC

1+tanAtanC

=

3

，
∴A-C=

π

3

；
（2）由（1）知，A=C+

π

3

，
又

2

a=

2

c+b，
∴由正弦定理得：

2

（sinA-sinC）=sinB=sin（A+C）=sin（2C+

π

3

），
即

2

[sin（C+

π

3

）-sinC]=sin（2C+

π

3

），
∴

2

×2cos（

π

6

+C）sin

π

6

=2sin（

π

6

+C）cos（

π

6

+C），
即

2

cos（

π

6

+C）sin

π

6

=2sin（

π

6

+C）cos（

π

6

+C），
∴cos（

π

6

+C）=0或sin（

π

6

+C）=

2

2

，
∴C=

π

3

（舍去）或（

π

6

+C）=

π

4

或

3π

4

（舍去）
∴C=

π

12

．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查正弦定理与和差化积公式、二倍角的正弦及正弦、余弦函数的性质的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．