Question

【题目】海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：

①失事船的移动路径可视为抛物线 ；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

Answer 1

【答案】
（1）解：t=0.5时，P的横坐标xP=7t= ，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3．

由|AP|= ，得救援船速度的大小为 海里/时．

由tan∠OAP= ，得∠OAP=arctan ，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．

（2）解：设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．

由vt= ，整理得 ．

因为 ，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．

【解析】（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程 中，可得P的纵坐标，利用|AP|= ，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt= ，整理得 ，利用基本不等式，即可得到结论．