Question

已知点P（2，2）在曲线y=ax³+bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么（i）ab=

 

；
（ii）函数f（x）=ax³+bx，x∈[-

3

2

，3]的值域为

 

．

Answer 1

分析：（1）对函数进行求导，根据在点P（2，2）的导数值等于9，且该点在曲线上可得到两个方程，联立的求得a，b的值，确定答案．
（2）根据（1）中结果确定函数的解析式，然后求导数后令导函数等于0求出x的值，然后判断函数在端点和极值的大小即可得到函数在闭区间上的最值，从而得到值域．

解答：解：（1）点P（2，2）在曲线y=ax³+bx
则：8a+2b=2
∵y'=3ax²+b
∴当x=2 时，12a+b=9
联立得：a=1，b=-3∴ab=-3
（2）由（1）知y=x³-3x
∴y'=3x²-3，令3x²-3=0，x=±1
∵f（1）=1-3=-2，f（-1）=-1+3=2，f（3）=27-9=18，f（-

3

2

）=-

27

8

+

9

2

=

9

8

∴y=x³-3x在x∈[-

3

2

，3]的最大值为18，最小值为-2，即值域为[-2，18]
故答案为：-3，[-2，18]．

点评：本题主要考查导数的几何意义、函数在闭区间上的值域．属基础题．