Question

在节能减排、保护地球环境的呼吁下，世界各国都很重视企业废水废气的排放处理．尽管企业对废水废气作了处理，但仍会对环境造成一些危害，所以企业在排出废水废气时要向当地居民支付一定的环境补偿费．已知某企业支付的环境补偿费P与该企业的废水排放量x满足关系式P=kx³（k∈[1，10]），具体k值由当地环保部门确定．而该企业的毛利润Q满足关系式Q=

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x2+10x，
（1）当k=1时，该企业为达到纯利润（Q-P）最大，废水排放量会达到多少？
（2）当x＞1时，就会对居民健康构成危害．该地环保部门应在什么范围内设定k值，才能使该企业在达到最大利润时，废水排放量不会对当地居民健康构成危害？

Answer 1

分析：设纯利润为y，则y=Q-P是三次函数，对其求导，
（1）当k=1时，令导数y'=0，得根，从而得出企业纯利润最大时x的值；
（2）由函数f（x）=-3kx²+x+10，k∈[1，10]知：图象开口向下，且f（0）＞0，∴f（x）必有一正一负两根，且正根为极大值点；由题意，正根不超过1，即f（1）≤0，解得k的范围．

解答：解：设企业纯利润为y，则y=Q-P=

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x2+10x-kx3，y'=-3kx²+x+10
（1）当k=1时，由y'=-3x²+x+10=-（3x+5）（x-2）=0，得
x=2或x=-

5

3

（不合题意，舍去），∴x=2时企业纯利润最大；
（2）设f（x）=-3kx²+x+10，k∈[1，10]∵f（x）图象开口向下，且f（0）=10＞0，
∴f（x）必有一正一负两根，且正根为极大值点
∴根据题意得：f（x）=0的正根不超过1，
∴f（1）≤0，即-3k+1+10≤0，∴k≥

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3

，综上，得k∈[

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3

，10].

点评：本题考查了利用导数求三次函数的最值问题和一元二次方程根的分布问题，解题时要认真分析，避免出现错误．