Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=CC₁=1，E为棱C₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证面ADE⊥面BCE；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ADE的体积．

Answer 1

解：（1）∵E为棱C₁D₁的中点，
∴D₁D=D₁E=1，又∵∠DD₁E=90°，
∴∠D₁ED=45°，同理∠C₁EC=45°，∴∠DEC=90°．即DE⊥EC
∵BC⊥面DC₁，
又∵DE?面DC₁，∴BC⊥DE．
∵BC∩CE=C，∴DE⊥面BCE．
∵DE?面ADE，∴面ADE⊥面BCE
（2）三棱锥A₁-ADE可以看做以面AA₁D为底，D₁E为高的三棱锥，
∴
分析：（1）先在矩形DCC₁D₁中，证明DE⊥EC，在利用长方体的性质，证明DE⊥BC，从而利用线面垂直的判定定理证明DE⊥面BCE，最后利用面面垂直的判定定理证明结论即可；
（2）先将三棱锥看做以面AA₁D为底，D₁E为高的三棱锥，再利用棱锥体积计算公式计算其体积即可
点评：本题考查了长方体中的线面关系，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，三棱锥体积的计算公式及计算方法技巧，属基础题