Question

如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形ABCD的形状，使得A，B，C，D都落在抛物线上，点A，B关于抛物线的对称轴对称且AB=4，抛物线的顶点到底边AB的距离是4，记CD=2t，梯形面积为S．以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求出钢板轮廓所在抛物线的方程；
（2）求面积S关于t的函数解析式，并写出其定义域；
（3）求面积S的最大值．

Answer 1

解：如图，
（1）设钢板轮廓所在抛物线的方程为：y²=2px（p＞0），
由图得抛物线过点（4，2），代入y²=2px（p＞0），得，
所钢板轮廓所在抛物线的方程为y²=x．
（2）由CD=2t，故可设C（t²，t），梯形高为4-t²，
梯形的面积，
又由，得0＜t＜2，故其定义域为（0，2）．
（3）由（2）知S=-t³-2t²+4t+8（0＜t＜2），S'=-3t²-4t+4，
令S'=0，得，
列表如下：

由上表知面积S在时取到极大值，又S在（0，2）只有一个极值点，
故极大值也为最大值，此时．
分析：（1）以题意建立坐标系，设出抛物线方程，把B点坐标代入抛物线方程求解p，则抛物线的方程可求；
（2）由CD=t，利用t表示出C点的坐标，则等腰梯形ABCD的上底及高可用含有t的代数式表示，然后直接写出梯形的面积公式，由梯形的上底长大于0小于4，且梯形的高大于0解得t的范围；
（3）求出（2）中函数的导函数，得到极大值，也就是梯形面积的最大值．
点评：本题考查了函数解析式的求解的方法，注意的是实际问题要有实际意义，考查了利用导数研究函数的极值，注意极值与最值得关系，属中档题．