【题目】正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2,E,F分别为BB1 , AB的中点. (I)已知M为线段B1A1上的点,且B1A1=4B1M,求证:EM∥面A1FC;
(II)若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为 ,求AA1的值.
【答案】证明:(I)取B1A1中点为N,连结BN, 则BN∥A1F,又B1A1=4B1M,
则EM∥BN,所以EM∥A1F,
因为EM面A1FC,A1F面A1FC,
故EM∥面A1FC.
解:(II)如图,以F为坐标原点建立空间直角坐标系,
设AA1=a.
则 ,
,
设平面A1CF法向量为 ,
设平面A1EF法向量为 .
则 ,取z=1,得
,
,取x=1,得
;
设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ,
∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为 ,
∴ ,
设a2=t,则9t2+10t﹣111=0,得t=3,
即a2=3,∴ .
【解析】(I)取B1A1中点为N,连结BN,推导出BN∥A1F,从而EM∥BN,进而EM∥A1F,由此能证明EM∥面A1FC.(II)以F为坐标原点建立空间直角坐标系,设AA1=a,利用向量法能求出结果.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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【题目】随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
储蓄存款y(千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
(1)求y关于t的回归方程
(2)用所求回归方程预测该地区2015年()的人民币储蓄存款.
附:回归方程中
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【题目】若将函数y=2sin 2x的图像向左平移 个单位长度,则评议后图象的对称轴为( )
A.x= –
(k∈Z)
B.x= +
(k∈Z)
C.x= –
(k∈Z)
D.x= +
(k∈Z)
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【题目】已成椭圆 的左右顶点分别为
,上下顶点分别为
,左右焦点分别为
,其中长轴长为4,且圆
为菱形
的内切圆.
(1)求椭圆 的方程;
(2)点 为
轴正半轴上一点,过点
作椭圆
的切线
,记右焦点
在
上的射影为
,若
的面积不小于
,求
的取值范围.
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【题目】若函数f(x)在其图像上存在不同的两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值为0,则称f(x)为“柯西函数”, 则下列函数:
①f(x)=x+ (x>0);
②f(x)=lnx(0<x<3);
③f(x)=2sinx;
④f(x)= .
其中为“柯西函数”的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】在考试测评中,常用难度曲线图来检测题目的质量,一般来说,全卷得分高的学生,在某道题目上的答对率也应较高,如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图,第1、2问满分均为6分,图中横坐标为分数段,纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度,则下列说法正确的是( )
A.此题没有考生得12分
B.此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏
C.分数在[40,50)的考生此大题的平均得分大约为4.8分
D.全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,△PAD为正三角形,AB∥CD,AB=2CD,∠BAD=90°,PA⊥CD,E为棱PB的中点 (Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面CDE;
(Ⅱ)若直线PC与平面PAD所成角为45°,求二面角A﹣DE﹣C的余弦值.
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【题目】已知两个集合A,B,满足BA.若对任意的x∈A,存在ai , aj∈B(i≠j),使得x=λ1ai+λ2aj(λ1 , λ2∈{﹣1,0,1}),则称B为A的一个基集.若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},则其基集B元素个数的最小值是 .
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【题目】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,若这200名学生中每周的自习时间不超过m小时的人数为164,则m的值约为( )
A.26.25
B.26.5
C.26.75
D.27
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