Question

【题目】正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1 ， AB的中点． （I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1=4B1M，求证：EM∥面A1FC；
（II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为 ，求AA1的值．

Answer 1

【答案】证明：（I）取B1A1中点为N，连结BN， 则BN∥A1F，又B1A1=4B1M，
则EM∥BN，所以EM∥A1F，
因为EM面A1FC，A1F面A1FC，
故EM∥面A1FC．
解：（II）如图，以F为坐标原点建立空间直角坐标系，

设AA1=a．
则 ，
，
设平面A1CF法向量为 ，
设平面A1EF法向量为 ．
则 ，取z=1，得 ，
，取x=1，得 ；
设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ，
∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为 ，
∴ ，
设a2=t，则9t2+10t﹣111=0，得t=3，
即a2=3，∴ ．
【解析】（I）取B1A1中点为N，连结BN，推导出BN∥A1F，从而EM∥BN，进而EM∥A1F，由此能证明EM∥面A1FC．（II）以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1=a，利用向量法能求出结果．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．