Question

【题目】若函数 有两个极值点，，其中 ，，且，则方程 的实根个数为________________．

Answer 1

【答案】5

【解析】

由函数f（x）=﹣lnx+ax2+bx﹣a﹣2b有两个极值点x1，x2，可得2ax2+bx﹣1=0有两个不相等的正根，必有△=b2+8a＞0．而方程2a（f（x））2+bf（x）﹣1=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解的个数．

∵函数f（x）=﹣lnx+ax2+bx﹣a﹣2b有两个极值点x1，x2，

∴f′（x）=﹣+2ax+b=，

即为2ax2+bx﹣1=0有两个不相等的正根，

∴△=b2+8a＞0．解得x=．

∵x1＜x2，﹣，b＞0，

∴x1=，x2=．

而方程2a（f（x））2+bf（x）﹣1=0的△1=△＞0，

∴此方程有两解且f（x）=x1或x2

即有0＜x1＜x2，：∵x1，x2＞0又x1x2=﹣＞1

∴x2＞1，∵f（1）=﹣b＜0∴f（x1）＜0，

f（x2）＞0．

①根据f′（x）画出f（x）的简图，

∵f（x2）=x2，由图象可知方程f（x）=x2有两解，方程f（x）=x1有三解．

综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2共有5个实数解．

即关于x的方程2a（f（x））2+bf（x）﹣1=0的共有5不同实根．

故答案为：5