Question

设

e1

与

e2

是两个单位向量，其夹角为60°，且

a

=2

e1

+

e2

，

b

=-3

e1

+2

e2

．
（1）求

a

•

b

；
（2）求|

a

|和|

b

|；
（3）求

a

与

b

的夹角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，计算即可得到；
（2）运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到；
（3）运用向量的夹角公式和夹角的范围，计算即可得到所求值．

解答： 解：（1）由

e1

与

e2

是两个单位向量，其夹角为60°，
则

e1

•

e2

=1×1×

1

2

=

1

2

，

a

•

b

=（2

e1

+

e2

）•（-3

e1

+2

e2

）=-6

e1

2+2

e2

2+

e1

•

e2

=-6+2+

1

2

=-

7

2

；
（2）|

a

|=

(2 e1 + e2 )2

=

4 e1 2+ e2 2+4 e1 • e2

=

4+1+4× 1 2

=

7

，
|

b

|=

(-3 e1 +2 e2 )2

=

4 e2 2-12 e1 • e2 +9 e1 2

=

4-12× 1 2 +9

=

7

；
（3）cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

- 7 2

7 × 7

=-

1

2

，
由于0≤＜

a

，

b

＞≤π，
则有

a

与

b

的夹角

2π

3

．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量的夹角公式的运用，考查运算能力，属于基础题．