Question

【题目】(2016·贵阳第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sin A－sin C)，向量n＝(c，sin A－sin B)，且m∥n.

(1)求角B的大小；

(2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

试题分析：由条件利用两个向量共线的性质，正弦定理，余弦定理可得的值，从而求得的值；

设，则在中，可知，利用正弦定理求得的值，可得的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得的最大值及此时的面积。

解析：(1)因为m∥n，

所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0.

由正弦定理，得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.

由余弦定理，得cosB＝＝＝.

因为B∈(0，π)，所以B＝.

(2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，

由B＝，可知θ∈(0，)．

由正弦定理及AD＝，得＝＝＝2，

所以BD＝2sin θ，AB＝2sin(－θ)＝cosθ＋sin θ.

所以a＝2BD＝4sin θ，c＝AB＝cosθ＋sin θ.

从而a＋2c＝2cos θ＋6sin θ＝4sin(θ＋)．

由θ∈(0，)，可知θ＋∈(，)，

所以当θ＋＝，即θ＝时，a＋2c取得最大值4.

此时a＝2，c＝，

所以S△ABC＝acsinB＝.