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已知圆x2+y2=4上任意一点G在y轴上的射影为H,点M满足条件2
PM
=
PH
+
PG
,P为圆外任意一点.
(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若过点D(0,
3
)
的直线l与轨迹C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同点,已知向量m=(x1
y1
2
)
n=(x2
y2
2
)
,若m•n=0,求直线AB的斜率k的值.
分析:(Ⅰ)设M(x,y),G(x0,y0),H(0,y),由2
PM
=
PG
+
PH
⇒M
为HG的中点,知
x0=2x
y0=y
.由点G(x0,y0)在圆x2+y2=4上,知(2x)2+y2=4,点 此能M 轨同迹C的方程.
(Ⅱ)设AB的方程为y=kx+
3
.联立
y=kx+
3
y2+4x2=4
⇒(k2+4)x2+2
3
kx-1=0
,再由韦达定理结合题设条件能够求出直线AB的斜率k的值.
解答:解:(Ⅰ)由题意知,设M(x,y),G(x0,y0),
则H(0,y),
2
PM
=
PG
+
PH
⇒M
为HG的中点,
x0=2x
y0=y
.…(3分)
∵点G(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
∴(2x)2+y2=4,
∴点M轨迹C的方程为
y2
4
+x2=1
.                          …(6分)
(Ⅱ)由题意,设AB的方程为y=kx+
3

联立
y=kx+
3
y2+4x2=4
⇒(k2+4)x2+2
3
kx-1=0

x1+x2=
-2
3
k
k2+4
x1x 2=
-1
k2+4
.…(8分)
由已知m•n=x1x2+
y1y2
4
=x1x2+
1
4
(kx1+
3
)(kx2+
3
)

=(1+
k2
4
)x1x2+
3
k
4
(x1+x2)+
3
4
=
k2+4
4
(-
1
k2+4
)+
3
k
4
-2
3
k
k2+4
+
3
4

k2+4
4
(-
1
k2+4
)+
3
k
4
-2
3
k
k2+4
+
3
4
=0

解得k=±
2
.      …(12分)
点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,具体涉及到椭圆的性质和点的轨迹的求法以圆的简单性质,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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(-15,-5)∪(5,15)
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x
 
0
x+y0y=4

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±13
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x+y-2=0
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