Question

已知圆x²+y²=4上任意一点G在y轴上的射影为H，点M满足条件2

PM

=

PH

+

PG

，P为圆外任意一点．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点D(0，

3

)的直线l与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两个不同点，已知向量m=(x1，

y1

2

)，n=(x2，

y2

2

)，若m•n=0，求直线AB的斜率k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y），G（x₀，y₀），H（0，y），由2

PM

=

PG

+

PH

⇒M为HG的中点，知

x0=2x y0=y

．由点G（x₀，y₀）在圆x²+y²=4上，知（2x）²+y²=4，点 此能M 轨同迹C的方程．
（Ⅱ）设AB的方程为y=kx+

3

．联立

y=kx+ 3 y2+4x2=4

⇒(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，再由韦达定理结合题设条件能够求出直线AB的斜率k的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，设M（x，y），G（x₀，y₀），
则H（0，y），
∵2

PM

=

PG

+

PH

⇒M为HG的中点，
∴

x0=2x y0=y

．…（3分）
∵点G（x₀，y₀）在圆x²+y²=4上，
∴（2x）²+y²=4，
∴点M轨迹C的方程为

y2

4

+x2=1．                          …（6分）
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+

3

．
联立

y=kx+ 3 y2+4x2=4

⇒(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，
∴x1+x2=

-2 3 k

k2+4

，x1x 2=

-1

k2+4

．…（8分）
由已知m•n=x1x2+

y1y2

4

=x1x2+

1

4

(kx1+

3

)(kx2+

3

)
=(1+

k2

4

)x1x2+

3 k

4

(x1+x2)+

3

4

=

k2+4

4

(-

1

k2+4

)+

3 k

4

•

-2 3 k

k2+4

+

3

4

．
由

k2+4

4

(-

1

k2+4

)+

3 k

4

•

-2 3 k

k2+4

+

3

4

=0，
解得k=±

2

．      …（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，具体涉及到椭圆的性质和点的轨迹的求法以圆的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．