Question

是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9对任意自然数n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：我们将n=1，2，3，4依次代入，计算相应的f（n）的值，由此不难得到满足条件的m值，然后再根据数学归纳法对结论进行证明．
解答：解：由f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9，得f（1）=36，
f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，
即f（k）=（2k+7）•3^k+9能被36整除；
当n=k+1时，[2（k+1）+7]•3^k+1+9=3[（2k+7）•3^k+9]+18（3^k-1-1），
由于3^k-1-1是2的倍数，故18（3^k-1-1）能被36整除．
这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9能被36整除，m的最大值为36．
点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．