Question

8．已知$α∈（{0，\frac{π}{2}}）∪（{\frac{π}{2}，π}）$，且sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 sinα，sin2α，sin4α成等比数列，可得sin²2α=sinαsin4α，利用$α∈（{0，\frac{π}{2}}）∪（{\frac{π}{2}，π}）$，可得sin2α≠0，sinα≠0，cosα≠1．化为cosα-cos2α=0，即可得出．

解答 解：∵sinα，sin2α，sin4α成等比数列，
∴sin²2α=sinαsin4α，
∴2sin2αsinα（cosα-cos2α）=0，
∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}）∪（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴2α∈（0，π）∪（π，2π），
∴sin2α≠0，sinα≠0，cosα≠1．
∴cosα-cos2α=0，
∴2cos²α-cosα-1=0，
（2cosα+1）（cosα-1）=0，
∴cosα=-$\frac{1}{2}$，
∴$α=\frac{2π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的性质、三角函数的化简求值、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．