Question

（2012•四川）设函数f（x）=（x-3）³+x-1，{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，则a₁+a₂+…+a₇=（　　）

A．0

B．7

C．14

D．21

Answer 1

分析：根据f（x）=（x-3）³+x-1，可得f（x）-2=（x-3）³+x-3，构造函数g（x）=f（x）-2，从而g（x）关于（3，0）对称，利用f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，从而g（a₄）为g（x）与x轴的交点，由此可求a₁+a₂+…+a₇的值．

解答：解：∵f（x）=（x-3）³+x-1，∴f（x）-2=（x-3）³+x-3，
令g（x）=f（x）-2
∴g（x）关于（3，0）对称
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14
∴f（a₁）-2+f（a₂）-2+…+f（a₇）-2=0
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0
∴g（a₄）为g（x）与x轴的交点
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a₄=3
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故选D．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查函数的对称性，考查数列的性质，需要一定的基本功．