Question

已知等比数列{a_n}单调递增，a₁+a₄=9，a₂a₃=8，b_n=log₂2a_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

＞0.99，求n的最小值．

Answer 1

分析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，利用等比数列的通项公式和单调性即可得出；
（II）由（I）可得bn=log2(2×2n-1)=n．可得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂项求和”即可得出T_n，由T_n＞0.99，即可解出．

解答：解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁+a₄=9，a₂a₃=8，
∴

a1+a1q3=9 a 2 1 q3=8

，解得

a1=1 q=2

或

a1=8 q= 1 2

．
∵等比数列{a_n}单调递增，∴取

a1=1 q=2

．
∴an=1×2n-1=2n-1．
（II）由（I）可得bn=log2(2×2n-1)=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴T_n=1-

1

n+1

，
由T_n＞0.99，
∴1-

1

n+1

＞1-

1

100

，解得n＞99．
∴n的最小值是100．

点评：本题考查了等比数列的通项公式和单调性、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于难题．