Question

6．若椭圆$\frac{x^2}{{{m^2}+1}}+{y^2}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则它的长半轴长为4．

Answer 1

分析 由题意可知：m²+1＞1，则椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}+1}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得：m²=3，它的长半轴长2a=4．

解答 解：由题意可知：m²+1＞1，则椭圆的焦点在x轴上，
即a²=m²+1，b=1，则c=m²+1-1=m²，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}+1}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得：m²=3，
则a=2，
它的长半轴长2a=4，
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．