Question

18．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$（a＞0）是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（3）若不等式f（x）＞b-log₂|x|在[-2，-1]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用特殊值法f（1）=$\frac{2}{a}$$+\frac{a}{2}$=f（-1）=$\frac{1}{2a}$+2a，求出a的值；
（2）利用定义设定义域内任意的x₁，x₂，且x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的正负即可；
（3）整理不等式得f（x）+log₂（-x）＞b恒成立，利用偶函数关于y轴对称，判断函数的单调性，求出左式的最小值即可．

解答 解：（1）函数为偶函数，
∴f（1）=$\frac{2}{a}$$+\frac{a}{2}$=f（-1）=$\frac{1}{2a}$+2a，
∴a=1；
（2）f（x）=2^x+2^-x，
设定义域内任意的x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）f（x）＞b-log₂|x|在[-2，-1]上恒成立，
∴f（x）+log₂（-x）＞b恒成立，
∵f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上递增，
∴f（x）在（-∞，0）上递减，log₂（-x）也为减函数，
∴f（x）+log₂（-x）≥f（-1）+log₂1=$\frac{5}{2}$，
∴b＜$\frac{5}{2}$．

点评 考查了函数的奇偶性的性质，单调性的证明方法和恒成立问题的转换．