Question

20．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）；
（2）证明：f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$；
（3）判定f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，
（2）令x＜0，且y=-x，则-x＞0，f（-x）＞1，得到0＜f（x）＜1，得到对任意x∈R，都有f（x）＞0，得到f（x）=f（x+y-y）=f（x-y）•f（y），问题得证明
（3）再根据单调性的定义，设x₁＜x₂，则 f（x₂）-f（x₁）＞0，得到函数为增函数．

解答 解：（1）令x=1，y=0
则f（1）=f（1）•f（0），
∵当x＞0时，f（x）＞1，
∴f（0）=1，
（2）令x＜0，且y=-x，则-x＞0，f（-x）＞1，
∴f（x-x）=f（x）•f（-x）=1，
∵f（-x）＞1，
∴0＜f（x）＜1，
综上所述，对任意x∈R，都有f（x）＞0，
∵f（x）=f（x+y-y）=f（x-y）•f（y）
∴f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$；
（3）f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]．
由x₂-x₁＞0，可得  f（x₂-x₁）-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）是定义域上的增函数．

点评 本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，关键是转化化归的思想的应用，属于中档题．