Question

（2009•襄阳模拟）在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC=CD=1．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-D的大小；
（3）若直线BD与平面ACD所成的角为θ，求θ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面ACD⊥平面ABC，只需证明平面ACD内的直线CD，垂直平面ABC内的两条相交直线AB，BC，即可证明CD⊥平面ABC，从而证明平面ACD⊥平面ABC．
（Ⅱ）说明∠CBD是二面角C-AB-D的平面角，解Rt△BCD，求二面角C-AB-D的大小；
（Ⅲ）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH，则∠BDH为BD与平面ACD所成的角，解Rt△BHD即可确定∠BDH（θ）正弦值的范围，进而得到θ的取值范围．

解答：证明：（1）∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC
解：（2）∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C-AB-D的平面角
∵在Rt△BCD中，BC=CD，∴∠CBD=45°
即二面角C-AB-D的大小为45°
（3）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH，∵平面ACD⊥平面ABC，
∴BH⊥平面ACD，∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角
设AB=a，在Rt△BHD中，BD=

2

，
BH=

AB•BC

AC

=

a

1+a2

∴sinθ=

BH

BD

=

a

2+2a2

=

1

2+ 2 a2

＜

2

2

，
又0＜θ＜

π

2

，
∴0＜θ＜

π

4

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，二面角及其度量，考查逻辑思维能力，转化思想，是中档题．熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质定理，及线面夹角和二面角的定义是解答此类问题的关键．