Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a}&{x＜0}\\{lnx}&{x＞0}\end{array}\right.$，若函数f（x）的图象在点A、B处的切线重合，则a的取值范围是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-ln2，+∞）
• C． （-2，-1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）²-1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为：
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）；
两直线重合的充要条件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₁+1①，lnx₂-1=-x₁²+a②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，
由①②得a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）²-1=-ln$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）²-1，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，则0＜t＜1，且a=$\frac{1}{4}$（t-1）²-1-lnt，
设h（t）=$\frac{1}{4}$（t-1）²-1-lnt，（0＜t＜1），
则h′（t）=$\frac{1}{2}$（t-1）-$\frac{1}{t}$=$\frac{（t-2）（t+1）}{2t}$＜0，
∴h（t）在（0，1）为减函数，
则h（t）＞h（1）=-ln1-1，∴a＞-1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，
a的取值范围（-1，+∞）．
故选：A．

点评 本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．